Matemática básica Ejemplos

$- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$

Paso 1

Factoriza $- 3$ de $- 3 {(5 b + 3)}^{3} - 6 (5 b + 3) + 9$ .

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Paso 1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 {(5 b + 3)}^{3}$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 6 (5 b + 3) + 9$

Paso 1.2

Factoriza $- 3$ de $- 6 (5 b + 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) + 9$

Paso 1.3

Factoriza $- 3$ de $9$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Paso 1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 ({(5 b + 3)}^{3}) - 3 (2 (5 b + 3))$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$

Paso 1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3)) - 3 (- 3)$ .

$- 3 ({(5 b + 3)}^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

$- 3 ({(5 b)}^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $5 b$ .

$- 3 (5^{3} b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 {(5 b)}^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $5 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (5^{2} b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 3 (25 b^{2}) \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.5

Multiplica $25$ por $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 75 b^{2} \cdot 3 + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $75$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3 (5 b) \cdot 3^{2} + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.7

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.7.1

Mueve $3^{2}$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.7.2

Multiplica $3^{2}$ por $3$ .

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Paso 3.7.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{2 + 1} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 3^{3} (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.8

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 27 (5 b) + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.9

Multiplica $5$ por $27$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 3^{3} + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 3.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b + 3) - 3)$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 2 (5 b) + 2 \cdot 3 - 3)$

Paso 5

Multiplica $5$ por $2$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 2 \cdot 3 - 3)$

Paso 6

Multiplica $2$ por $3$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 135 b + 27 + 10 b + 6 - 3)$

Paso 7

Suma $135 b$ y $10 b$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 27 + 6 - 3)$

Paso 8

Suma $27$ y $6$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 33 - 3)$

Paso 9

Resta $3$ de $33$ .

$- 3 (125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Reescribe $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ en forma factorizada.

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Paso 10.1.1

Factoriza $5$ de $125 b^{3} + 225 b^{2} + 145 b + 30$ .

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Paso 10.1.1.1

Factoriza $5$ de $125 b^{3}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 225 b^{2} + 145 b + 30)$

Paso 10.1.1.2

Factoriza $5$ de $225 b^{2}$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 145 b + 30)$

Paso 10.1.1.3

Factoriza $5$ de $145 b$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 30)$

Paso 10.1.1.4

Factoriza $5$ de $30$ .

$- 3 (5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Paso 10.1.1.5

Factoriza $5$ de $5 (25 b^{3}) + 5 (45 b^{2})$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b) + 5 (6))$

Paso 10.1.1.6

Factoriza $5$ de $5 (25 b^{3} + 45 b^{2}) + 5 (29 b)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6))$

Paso 10.1.1.7

Factoriza $5$ de $5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b) + 5 (6)$ .

$- 3 (5 (25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6))$

Paso 10.1.2

Factoriza.

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Paso 10.1.2.1

Factoriza $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 10.1.2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

Paso 10.1.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.04, \pm 0.2, \pm 6, \pm 0.24, \pm 1.2, \pm 2, \pm 0.08, \pm 0.4, \pm 3, \pm 0.12, \pm 0.6$

Paso 10.1.2.1.3

Sustituye $- 0.4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 10.1.2.1.3.1

Sustituye $- 0.4$ en el polinomio.

$25 {(- 0.4)}^{3} + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.2

Eleva $- 0.4$ a la potencia de $3$ .

$25 \cdot - 0.064 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.3

Multiplica $25$ por $- 0.064$ .

$- 1.6 + 45 {(- 0.4)}^{2} + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.4

Eleva $- 0.4$ a la potencia de $2$ .

$- 1.6 + 45 \cdot 0.16 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.5

Multiplica $45$ por $0.16$ .

$- 1.6 + 7.2 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.6

Suma $- 1.6$ y $7.2$ .

$5.6 + 29 \cdot - 0.4 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.7

Multiplica $29$ por $- 0.4$ .

$5.6 - 11.6 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.8

Resta $11.6$ de $5.6$ .

$- 6 + 6$

Paso 10.1.2.1.3.9

Suma $- 6$ y $6$ .

$0$

Paso 10.1.2.1.4

Como $- 0.4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $5 b + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6}{5 b + 2}$

Paso 10.1.2.1.5

Divide $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ por $5 b + 2$ .

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Paso 10.1.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 b$

$2$

$25 b^{3}$

$45 b^{2}$

$29 b$

$6$

Paso 10.1.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $25 b^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 b$ .

					$5 b^{2}$
	$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$

Paso 10.1.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			+	$25 b^{3}$	+	$10 b^{2}$

Paso 10.1.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $25 b^{3} + 10 b^{2}$ .

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$

Paso 10.1.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$

Paso 10.1.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 b^{2}$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Paso 10.1.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $35 b^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$

Paso 10.1.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					+	$35 b^{2}$	+	$14 b$

Paso 10.1.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $35 b^{2} + 14 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$

Paso 10.1.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$

Paso 10.1.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Paso 10.1.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $15 b$ por el término de mayor orden en el divisor $5 b$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$

Paso 10.1.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							+	$15 b$	+	$6$

Paso 10.1.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $15 b + 6$ .

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$

Paso 10.1.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$5 b^{2}$	+	$7 b$	+	$3$
$5 b$	+	$2$		$25 b^{3}$	+	$45 b^{2}$	+	$29 b$	+	$6$
			-	$25 b^{3}$	-	$10 b^{2}$
					+	$35 b^{2}$	+	$29 b$
					-	$35 b^{2}$	-	$14 b$
							+	$15 b$	+	$6$
							-	$15 b$	-	$6$
										$0$

Paso 10.1.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$5 b^{2} + 7 b + 3$

Paso 10.1.2.1.6

Escribe $25 b^{3} + 45 b^{2} + 29 b + 6$ como un conjunto de factores.

$- 3 (5 ((5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)))$

Paso 10.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 \cdot 5 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$

Paso 11

Multiplica $- 3$ por $5$ .

$- 15 (5 b + 2) (5 b^{2} + 7 b + 3)$